Математики розв’язали гіпотезу Грема, що залишалася відкритою 55 років

Група молодих математиків завершила доведення гіпотези Рональда Грема про перестановки чисел у модульній арифметиці, яка залишалася нерозв’язаною від 1971 року. Останню роботу в лютому 2026 року опублікували Ліза Зауерманн з Боннського університету та Хюї Туан Фам з Чиказького університету, повідомляє Wired.

Гіпотеза стосується набору ненульових чисел у системі, де значення повторюються після простого числа p. Грем припустив, що будь-який такий набір можна впорядкувати так, аби всі його послідовні часткові суми були різними. Якщо деяка послідовність чисел має суму, що дорівнює нулю за модулем p, часткова сума повторюється, тому такого порядку потрібно уникнути.

Чотири роботи для різних розмірів наборів

Розв’язання складалося з чотирьох наукових робіт, кожна з яких охоплювала окремі співвідношення між кількістю чисел у наборі та значенням p. Альп Мюєссер з Оксфордського університету й Алексєй Покровський з Університетського коледжу Лондона раніше розглянули випадки, коли набір містить майже всі можливі ненульові числа. Їхній підхід передбачав випадкове впорядкування чисел і подальше виправлення проблемних послідовностей, сума яких дорівнювала нулю.

Ноа Кравіц та Бенджамін Бедерт з Оксфорда у вересні 2024 року оприлюднили доведення для малих наборів порівняно з p. Згодом Мюєссер, Покровський, Кравіц та інші колеги розширили метод для більшого діапазону великих наборів. Водночас залишався проміжний випадок — набори, що за розміром становлять приблизно половину від p.

Випадковість і антиконцентрація

Зауерманн і Фам закрили цей проміжок, застосувавши метод антиконцентрації та аналіз Фур’є. Вони також починали з випадкової перестановки чисел і процедури виправлення нульових сум, замінюючи останній елемент проблемної послідовності іншим числом. Дослідники оцінили ймовірність трьох типів невдач: коли проблемна послідовність виникає наприкінці порядку, коли таких послідовностей надто багато поруч або коли виправлення однієї створює наступну.

Автори довели, що сукупна ймовірність цих небажаних подій є меншою за 100%, а отже, існує потрібне впорядкування. За їхніми розрахунками, випадковий порядок можна скоригувати без таких подій щонайменше у 90% випадків. Усі чотири роботи стосуються достатньо великих простих p; питання про доведення твердження для всіх значень p формально ще лишається відкритим.